Área

El área es una medida de extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas unidades de superficie. El área es un concepto métrico que requiere que el espacio donde se define o especifique una medida.

Para superficies planas, el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono, puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos de geometría diferencial.

Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclidiana.

Historia

La idea de que el área es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge la necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.[1]

El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas de los triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva genera más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con el sistema que se conoce como método exhaustivo de Eudoxo, consiguió obtener una aproximación para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,[2] así como el cálculo aproximado del número π.

Área de figuras planas

Área de un triángulo

Áreas en un plano cuadriculado.

A=\frac{b\cdot h}{2}

donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)
A=\frac{a\cdot b}{2}
donde a y b son los catetos.
A= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.
A=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}
donde a es un lado del triángulo.

Área de un cuadrilátero

Trapezoide.

A= \frac {\overline{AC} \cdot \overline{BD} \cdot \sin \theta}{2}

El área también se puede obtener mediante triangulación:

A= \frac {a \cdot d \cdot \sin \alpha + b \cdot c \cdot \sin \gamma}{2}

Siendo:
\alpha\, el ángulo comprendido entre los lados a\, y d\,.
\gamma\, el ángulo comprendido entre los lados b\, y c\,.

A = {a \cdot b \,}

A = \frac{\overline{AC} \cdot \overline{BD}}{2}

A= a \cdot a \, = a^2

A= b\cdot h\,

A = \frac{a + b}{2} \cdot h

Área del círculo y la elipse

El área de un círculo, o la delimitada por una circunferencia, se calcula mediante la siguiente expresión matemática:[4]

A = \pi  r^2\,

El área delimitada entre la gráfica de dos curvas puede calcularse mediante la diferencia entre las integrales de ambas funciones.

El área delimitada por una elipse es similar y se obtiene como producto del semieje mayor por el semieje menor multiplicados por π:[5]

A = {\ \pi a b}

Área delimitada entre dos funciones

Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

 \text{Area}(a,b) = \int^b_a | f(x) - g(x) | dx

El resultado de esta integral es el área comprendida entre las curvas: f(x)\, y g(x) [< f(x)]\, en el intervalo [a,b]\,.

Ejemplo

Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 - x^2 en el intervalo [-2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x)=0 entonces evaluando la integral, se obtiene:

A(-2,2) =  \int^2_{-2} | 4 - x^2 - 0 | dx =  2 \int^2_0 4 - x^2 dx =  2\left[4x - \cfrac{x^3}{3} \right]_0^2 =  2 \left[ 8 - \left(\cfrac{2^3 - 0}{3}\right) \right] =  \cfrac{32}{3}

Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3.

El volumen encerrado entre dos funciones también puede ser reducido al cálculo de una integral, similar.

Relación área-perímetro

Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:

\frac{A}{L^2} \le \frac{1}{4\pi}

La igualdad se alcanza sólo para un círculo el resto de figuras y formas posibles cumplen la desigualdad estricta.

Área de superficies curvas

El área de una superficie curva es más complejo y en general supone realizar algún tipo de idealización o límite para medirlo.

Superficie de revolución

Una superficie de revolución generada por un tramo de la curva y=2+cos x rotada alrededor del eje x.

Cuando una superficie curva puede ser generada haciendo girar una curva plana o generatriz alrededor de un eje directriz, la superficie resultante se llama superficie de revolución y su área puede ser calculada fácilmente a partir de la longitud de la curva generatriz que al girar conforma la superficie. Si y=f(x) es la ecuación que define un tramo de curva, al girar esta curva alrededor del eje X se genera una superficie de revolución cuya área lateral vale:

A_r(a,b) = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+\left(\frac{df(x)}{dx}\right)^2}\ \mathrm{d}x

Ejemplos particulares de superficies de revolución son:

Cálculo general de áreas

Mediante la geometría diferencial de superficies o más generalmente la geometría riemanniana puede calcularse el área de cualquier superficie curva finita. Si la superficie viene dada por la función explícita z = f(x, y) entonces, dada una región Ω contenida en una superficie su área resultar ser:

 A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{1+
\left(\frac{\partial f}{\partial x} \right )^2+
\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right )^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y

De manera un poco más general si conocemos la ecuación paramétrica de la superficie en función de dos coordenadas cualesquiera u y v entonces el área anterior puede escribirse como:

 A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{EG-F^2}\ \mathrm{d}u\mathrm{d}v

Donde E, F y G son las componentes del tensor métrico o primera forma fundamental de la superficie en las coordenadas paramétricas u y v.

En una variedad de Riemann de dimensión n > 1 puede definirse el área de ciertas subvariedades cuya dimensión sea 2. Para ello se define un conjunto de dos coordenadas (u, v) que parametricen la subvariedad y se construye un atlas para subvariedad, entonces el área es la integral de una 2-forma sobre dicha variedad. Esta definición coincidiría con la definición de áreas dada a partir de la primera forma fundamental.

Unidades de medida de superficies

Sistema Internacional de Unidades

Según el Sistema Internacional de Unidades, las unidades cuadradas son las que se listan a continuación:

Múltiplos
Unidad básica
Submúltiplos

Sistema anglosajón de unidades

Las unidades más usadas del sistema anglosajón son:

Véase también

Referencias

  1. Heródoto Historias, Libro II.
  2. El problema del área. fca.unl.edu.ar
  3. 1 2 3 4 5 Spiegel y Abellanas, 1992, p.9
  4. Spiegel y Abellanas, 1992, p. 10
  5. Spiegel y Abellanas, 1992, p. 11

Bibliografía

Enlaces externos

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