Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,z), donde:

Los rangos de variación de las tres coordenadas son


0\leq \rho <\infty\qquad 0\leq \varphi< 2\pi\qquad -\infty< z < \infty

La coordenada azimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.

Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:


x=\rho \cos \varphi,\qquad    
y=\rho \sin \varphi,\qquad        
z=z

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, éstas son:

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones


\hat{\rho}  = \cos\varphi\,\hat{x} + {\rm sen}\,\varphi\,\hat{y}

\hat{\varphi}  = -{\rm sen}\varphi\,\hat{x} + \cos\,\varphi\,\hat{y}

\hat{z}  = \hat{z}

e inversamente


\hat{x}  = \cos\varphi\,\hat{\rho} - {\rm sen}\,\varphi\,\hat{\varphi}

\hat{y}  = {\rm sen}\varphi\,\hat{\rho} + \cos\,\varphi\,\hat{\varphi}

\hat{z}  = \hat{z}

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala


h_\rho = 1 \qquad h_\varphi = \rho \qquad h_z = 1

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es


\vec r = \rho\,\hat{\rho} + z\,\hat{z}

Nótese que no aparece un término \varphi\,\hat{\varphi}. La dependencia en esta coordenada está oculta en los vectores de la base.

Efectivamente:


\begin{array}{rcl}
\vec r & = & x \vec i + y \vec j + z \vec k \\
 \     & = & \rho \cos\varphi\ \vec i + \rho \sin\varphi\ \vec j + z \vec k \\
 \     & = & \rho ( \cos\varphi\ \vec i + \sin\varphi\ \vec j) + z \vec k \\
 \     & = & \rho \hat{\rho} + z \hat{z}
\end{array}

Diferenciales de línea, superficie y volumen

Diferencial de línea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por


d\vec r = h_\rho\,d\rho\,\hat{\rho}+h_\varphi\,d\varphi\,\hat{\varphi}+h_z\,dz\,\hat{z}
=d\rho\,\hat{\rho}+\rho\,d\varphi\,\hat{\varphi}+dz\,\hat{z}

Diferenciales de superficie

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q_3={\rm cte.} el resultado es


d\vec S_{q_3={\rm cte}} = h_1\,h_2\,dq_1\,dq_2\,\hat{q}_3

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que


dV = h_1\,h_2\,h_3\,dq_1\,dq_2\,dq_3

que para coordenadas cilíndricas da


dV = \rho\,d\rho\,d\varphi\,dz

Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Éstas son:


\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\hat{\rho}
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}+
\frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z}

\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{\rho}\frac{\partial(\rho F_\rho)}{\partial \rho}
+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

\nabla\times \vec F=\frac{1}{\rho}\left|
\begin{matrix}
\hat{\rho} & \rho\,\hat{\varphi} & \hat{z}  \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial \rho} & \frac{\partial}{\partial \varphi} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
F_\rho & \rho\,F_\varphi & F_z
\end{matrix}\right|

\nabla^2\phi= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\frac{\partial\phi}{\partial\rho}\right)
+ \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}
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