Función diferenciable

El concepto de función diferenciable es una generalización para el cálculo en varias variables del concepto más simple de función derivable. En esencia una función diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y puede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicación afín.

La formulación rigurosa de esta idea intuitiva sin embargo es algo más complicada y requiere de conocimientos de álgebra lineal. Debe notarse que aunque una función de varias variables admita derivadas parciales según cada una de sus variables no necesariamente eso implica que sea una función diferenciable.

Definición

Una función de múltiples variables f: \Omega \sub \mathbb{R} ^ n \to \mathbb{R} ^ m se dirá diferenciable en x_0\in\mathbb{R} ^ n si, siendo \Omega un conjunto abierto en \mathbb{R} ^ n, existe una transformación lineal T\, que cumpla:

 f(x_0+h) = f(x_0)+ T(h)+\theta(h)\;

Donde \theta(h) cumple que:

\lim_{h \to 0} \frac {\lVert \theta(h) \rVert} { \lVert h \rVert} = 0

o sea \theta(h) tiende a cero "más rápido" que función lineal, cuando h tiende a 0. Necesariamente la transformación lineal T\; es la única cosa que se ve más claramente si adoptamos como definición de función derivable aquella para la cual se cumple que exista una aplicación lineal tal que:

\lim_{h\to 0} \frac{\|f(x_0+h)-f(x_0)-T(h)\|}{\|h\|}=0

Visualización Geométrica

Para fijar ideas, usando una función f:\mathbb{R} ^ 2 \to \mathbb{R} cuyo gráfico sería una "sábana". La función es diferenciable si la "sábana" no está "quebrada" en los puntos donde es diferenciable, o sea la función es "suave" en todos los puntos de su dominio, existiendo la matriz jacobiana o derivada en esos puntos.

Funciones reales de una variable

Una función real de una variable que admite derivada en todos sus puntos y tal que dicha derivada sea continua es trivialmente una función diferenciable. Por esa razón para funciones reales de una variable el concepto de función derivable y función diferenciable son básicamente equivalentes.

Sin embargo, para funciones de más de una variable la situación es más complicada. Ya que la existencia de derivadas no comporta que una función sea automáticamente diferenciable.

Ejemplos para funciones de dos variables

De función diferenciable

La función f(x,y) es diferenciable si x, y son diferentes de 0, puesto que existen las derivadas parciales en un entorno de cualquier punto y son continuas en él:

f(x,y) = e^{x+y}\;

De función derivable no-diferenciable

En cambio la función g(x,y) es continua, admite derivadas según las variables x e y, e incluso derivadas direccionales, sin embargo no es diferenciable en (0,0):

g(x,y)=\frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}}

De función no-continua y no-diferenciable

La función h(x,y)\; no es diferenciable en (0,0) puesto que no es continua en ese punto ni existen derivadas parciales de cualquier orden en el punto (0,0):

h(x,y)=\frac{xy^2}{x^4+y^4}

Función diferenciable de varias variables

Una aplicación vectorial entre varias variables de la forma f:\R^m \to \R^n se dice diferenciable en un punto x_0 si puede encontrarse una matriz \mathbf{M}, llamada matriz jacobiana, que representa una aplicación lineal L_f:\R^m \to \R^n tal que:

\lim_{\varepsilon\to 0} \frac{\|f(x_0+\varepsilon\mathbf{h})-f(x_0)-\mathbf{M}\mathbf{h}\|}{\varepsilon}= 0

O de forma equivalente:

\lim_{x\to x_0} \frac{\|f(x)-f(x_0)-(x-x_0)\mathbf{M}\|}{\|x-x_0\|}=0

donde x_0 es un punto de \mathbb{R} ^ n,es decir (x-x_0)=(x_1-x_{01},x_2-x_{02},...,x_m-x_{0m}) y \mathbf{M}, la transformación lineal, que viene dada por la matriz jacobiana de f en el punto x_0 \in \mathbb{R} ^ m

En esas condiciones se puede ver la función \mathbf{f}(x_1,\dots,x_m) = (f_1(x_1,\dots,x_m),\dots, f_n(x_1,\dots,x_m)) admite derivadas parciales de todas las variables y además resulta:

\mathbf{M} = \begin{pmatrix}
\cfrac{\part f_1}{\part x_1} & \dots & \cfrac{\part f_1}{\part x_m} \\ \dots & \dots & \dots \\
\cfrac{\part f_n}{\part x_1} & \dots & \cfrac{\part f_n}{\part x_m} \end{pmatrix}

Referencias

Véase también

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