Intervalo (matemática)

Un intervalo (del latín inter-vallum, no, pausa)[1] es un subconjunto . A tal subconjunto se le exige que para cualquier y todo con se satisfaga que .[2] Específicamente, un intervalo es un subconjunto conexo de la recta real . Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad que la recta real.[3]

Proposición

Un intervalo es un subconjunto de que verifica la siguiente propiedad:

Si y son elementos de con , entonces para todo tal que , se cumple que

Notación

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalos abiertos

Definición

Dados los números reales a y b que cumplen a<b, se define el conjunto llamado intervalo abierto de extremo inferior a y extremo superior b.

En palabras, el intervalo abierto (a;b) es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b: este conjunto no contiene a ninguno de los extremos a y b.[4] Se le nombra como un tipo de intervalo finito.

Otras notaciones
  • o o


En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.

En la topología usual de la recta (o ) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de , un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto (a; b) es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b]. Su exterior son las semirrectas (-∞; a] y [b; +∞).[5] No tiene puntos aislados, mientras que todos sus puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo.[6]

Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

  • Que se indica:

En notación conjuntista:

Intervalo semiabierto

Incluye únicamente uno de los extremos.

  • Con la notación o bien indicamos.

En notación conjuntista:

  • Y con la notación o bien ,

En notación conjuntista:

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.[7] Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor absoluto, la función signo, etc.[8]

Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es (a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son a y b con a < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es ∅.[9]

Intervalos con infinito

Este tipo de intervalos aparece cuando se conoce solo uno de los extremos y el otro es el infinito, es decir, un valor en términos absolutos mayor que cualquier otro, ya sea positivo o negativo. Al no poderse incluir el infinito en el intervalo, estos se consideran siempre abiertos.

Incluye un extremo e infinito por la derecha.

  • Con la notación indicamos.

En notación conjuntista:

Sin incluir el extremo:

  • Y con la notación ,

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

  • Con la notación indicamos.

En notación conjuntista:

Sin incluir el extremo:

  • Y con la notación ,

En notación conjuntista:

Para todo valor real:

  • Y con la notación ,

En notación conjuntista:

Familia de intervalos

  • {(1-1/n; 2+1/n) |n es número natural} es una familia de intervalos abiertos.
  • {[1; 2+1/n]} n= 1,2,3,...Es una familia de intervalos cerrados.

Operaciones con intervalos

En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:

Esto se lee: A es el conjunto de todos los números reales x tal que x es menor que cuatro.

Y el conjunto B:

B es el conjunto de todos los números reales x, tal que 9 es menor que cualquier x .

El conjunto unión de A y B sería:

O también se puede anotar:

Un elemento está en la unión de dos o más conjuntos s.s.s. está por lo menos en uno de ellos.

El conjunto intersección de A y B no existe:[10]

porque A y B no tienen puntos en común.

Dados los conjuntos A y C:

El conjunto unión de A y C es:

El conjunto unión es aquel que toma los valores de cada uno de los conjuntos, entre todos los conjuntos incluidos.

El conjunto intersección de A y C es:

El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.

Entorno simétrico

Un entorno simétrico o entorno de centro a y radio r se representa:

  • Con la notación indicamos.

Entorno reducido

Un entorno reducido de centro a y radio r se representa:

  • Con la notación indicamos.

Un entorno reducido de un punto p es un entorno de p, menos {p}. Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) = {y: −1 < y < 1} es un entorno de p = 0 en la recta real, entonces el conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} es un entorno reducido de 0.

Nota

Ejemplos gráficos

Gráfica de una función en un intervalo.
Gráfica de una función en un intervalo.  
Transformación lineal de intervalos.
Transformación lineal de intervalos.  
Transformación lineal de intervalos.
Transformación lineal de intervalos.  
Línea numérica.
Línea numérica.  

Clasificación

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con ab, y x perteneciente al intervalo:

NotaciónIntervaloLongitudDescripción
Intervalo cerrado de longitud finita.
Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).
Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).
Intervalo abierto.
Intervalo semiabierto.
Intervalo semiabierto.
Intervalo semiabierto.
Intervalo semiabierto.
Conjunto a la vez abierto y cerrado en la topología usual de ℝ.
Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).
sin elementoceroConjunto vacíoIntervalo abierto (a,a).

[11]

Caracterización

Intervalo cerrado

El número real x está en si sólo si . Los puntos a y b son elementos del intervalo cerrado I; a es el ínfimo y b el supremo. El intervalo cerrado es la clausura del intervalo abierto y los semiabiertos con extremos a y b con . El intervalo abierto es el interior del intervalo cerrado de extremos a y b; y estos puntos son los únicos que están en la frontera del intervalo cerrado ; este es un conjunto cerrado y compacto con la topología usual de la recta . [12]

Propiedades

  • La unión de intervalos de no siempre es un intervalo (lo será si la intersección es no vacía).
  • Los conjuntos conexos de son exactamente los intervalos.[13]
  • Los intervalos cerrados sobre una recta se denominan «segmento de recta», son conjuntos cerrados según la topología usual, conexos y compactos.[13]
  • La imagen por una función continua de un intervalo de es un intervalo de . Esta es una formulación del Teorema del valor intermedio.
  • Según la topología usual de ℝ, un conjunto abierto es la unión de intervalos abiertos.[14]

Aritmética de intervalos

Sean I = [a, b] y J = [c, d] con axb, y cyd.

Entonces: a + cx + yb + d. Lo que justifica que

  • I + J = [ a + c, b + d ].
  • I - J = [ a - d, b - c ].
  • Si se toman a, b, c y d positivos no nulos, I · J = [ ac, bd ] y I / J = [ a/d, b/c ].

Generalización

Un intervalo n-dimensional se define como un subconjunto de , que es el producto cartesiano de n intervalos: , uno en cada eje de coordenadas......

Entorno de centro a y radio ε.

En términos topológicos, en el espacio métrico usual los intervalos son las bolas abiertas y cerradas. De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro a y radio ε, al conjunto de puntos x cuya distancia a a es menor que ε.

Véase también

Referencias y notas

  1. Echauri: Diccionario básico Latino-español...
  2. Barbolla García R.M. y otros. Introducción al análisis real Alhambra, Madrid, 1982, segunda edición ISBN 84-205-0771-7
  3. De Guzmán. Rubio: Integración: teoría y técnicas" ISBN 84-205-0631-1
  4. César A. TREJO: El concepto de número. Publicación de OEA, Washington D.C. (1973). Edición revisada y corregida
  5. Ayala y otros: Elementos de la Topología general, Salamanca, España, ISBN 84-7829-006-0
  6. Rubiano: Topología general, Bogotá
  7. M. J. Mansfield: "Introducción a la topología" ISBN 84-205-0450-5
  8. Arizmendi. Carrillo. Lara: Cálculo Cecsa, Mexico D.F.
  9. Spivak: Calculus, tomo I
  10. Error gravísimo. La intersección sí existe: el conjunto vacío
  11. Hasser. La Salle. Sullivan: Análisis matemático I, define con a≤b y surgen los casos del singulete y del ∅
  12. Mansfield. Introducción a la Topología ISBN 84-205-0450-5
  13. Chinn. Steenrod: Primeros conceptos de topología ISBN 84-205-0524-2
  14. Mansfield: Introducción a la Topología ISBN 84-205-4050-5
Este artículo ha sido escrito por Wikipedia. El texto está disponible bajo la licencia Creative Commons - Atribución - CompartirIgual. Pueden aplicarse cláusulas adicionales a los archivos multimedia.