Matriz normal

Sea A matriz compleja cuadrada, entonces es una matriz normal si y sólo si

donde A* es la matriz traspuesta conjugada de A (también llamado hermitiano)

Ejemplos

Esta matriz de orden 2 es normal.

debido a que ..

Propiedades

Una importante propiedad de este tipo de matrices es que son diagonalizables.

Demostración

Sea A matriz compleja cuadrada normal. Entonces puede expresarse, utilizando la descomposición de Schur, de esta manera:


Demostraremos que la matriz U es diagonal, por ahora solo sabemos que es triangular superior. Formalmente, definimos estas condiciones con números, ya que serán usadas en la demostración:

  • (1)
  • (2)
  • ...
  • (n-1)


Usando el hecho que A es normal:

Idénticamente.

Postmultiplicando por y luego premultiplicando por obtenemos:

Lo cual da lugar a estas dos multiplicaciones matriciales:



Para nuestros propósitos, nos interesan los elementos de las diagonales.


Ahora utilizamos un procedimiento inductivo para probar que esta matriz producto es diagonal (sus elementos son ceros fuera de la diagonal principal)

  • Caso i=1:



Separamos el elemento diagonal de las sumatorias.


Usando (1)

Por lo tanto,

Véase también

  • Operador normal

Enlaces externos

Este artículo ha sido escrito por Wikipedia. El texto está disponible bajo la licencia Creative Commons - Atribución - CompartirIgual. Pueden aplicarse cláusulas adicionales a los archivos multimedia.