Polígono

En geometría, un polígono es una figura geométrica plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que encierran una región en el plano.[1] Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersectan se llaman vértices. El polígono es el caso bidimensional del politopo.

Algunos ejemplos de polígonos.

Etimología

La palabra polígono deriva del griego antiguo πολύγωνος (polúgōnos), a su vez formado por πολύ (polú) ‘muchos’ y γωνία (gōnía) ‘ángulo’,[2][3][4] aunque hoy en día los polígonos son usualmente entendidos por el número de sus lados.

La noción geométrica elemental ha sido adaptada de distintas maneras para servir a propósitos específicos. A los matemáticos a menudo les interesan solo las líneas poligonales cerradas y los polígonos simples (aquellos en los cuales sus lados solo se intersecan en los vértices), y pueden definir un polígono de acuerdo a ello. Es requisito geométrico que dos lados que se intersecan en un vértice formen un ángulo no llano (distinto a 180°), ya que de otra manera los segmentos se considerarían partes de un único lado; sin embargo, esos vértices podrían permitirse algunas veces por cuestiones prácticas. En el ámbito de la computación, la definición de polígono ha sido ligeramente alterada debido a la manera en que las figuras son almacenadas y manipuladas en la computación gráfica para la generación de imágenes.

Definiciones

La definición del polígono depende del uso que se le quiera dar, así por ejemplo para hacer referencia a una región del plano se tiene:

  • Llamaremos polígono a la porción del plano delimitada y encerrada por una línea poligonal.[5]

Para hacer referencia al estudio euclidiano de las longitudes de los lados de un polígono, se tiene:

  • Llamaremos polígono a una figura geométrica plana definida por una línea poligonal de la cual sus dos extremos coinciden.

Línea poligonal

Se denomina línea poligonal o línea quebrada al conjunto de segmentos, , unidos sucesivamente por sus extremos donde el extremo de cada uno es origen del siguiente, tal que dos segmentos sucesivos no están alineados, en tal caso se considera ambos como un único segmento.[5][6]

Sean y los extremos de , entonces:

  • Si los dos extremos libres, y , no coinciden se dice que la línea poligonal es abierta.[5]
  • Diremos que la línea poligonal es cerrada si no es abierta.[5]

Ejemplo de una línea poligonal de seis segmentos:

Véase también

La definición y su aplicación del concepto de Grafo de la teoría de grafos.

La definición de símplex usada en topología algebraica.

Propiedades

  • Interior de un polígono es el conjunto de todos los puntos que están en el interior de la región que delimita dicho polígono.
  • Exterior de un polígono es el conjunto de los puntos que no están en la línea poligonal (frontera) ni en el interior.[7]

Elementos de un polígono

En un polígono se distinguen los siguientes elementos geométricos:

  • Lados del polígono: son cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
  • Vértices de un polígono: son los puntos de intersección o puntos de unión entre lados consecutivos.
  • Diagonales del polígono: son segmentos que une dos vértices no consecutivos del polígono.
  • Ángulo interior del polígono: es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos lados consecutivos.
  • Ángulo exterior del polígono: es el ángulo formado, externamente al polígono, por uno de sus lados y la prolongación del lado consecutivo.
  • Ángulo entrantes del polígono: es el ángulo interior al polígono que miden más de 180º.[8]
  • Ángulo salientes del polígono: es el ángulo interior al polígono que miden menos de 180º.[9]
Hexágono regular.

En un polígono regular se puede distinguir, además:

  • Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.
  • Ángulo central (AC): es el ángulo formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.
  • Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
  • Diagonal (): son los segmentos que unen los vértices del polígono no consecutivamente.

Formulario

, en un polígono de lados.
Las diagonales por cada vértice son

Los vértices son

Como cada diagonal está contada dos veces se tiene que el número de diagonales sale de:

  • Intersecciones de diagonales , en un polígono de vértices.
  • Todo polígono regular de n lados, puede ser descompuesto en un conjunto ordenado de n-2 triángulos, con un vértice común y la suma de las áreas de los triángulos sea igual al área del polígono.

Clasificación

Existen varias clasificaciones posibles de los polígonos. Para ver una clasificación basada en su número de lados, vea la tabla inferior.

Clasificación de los polígonos según su forma

Algunos ejemplos de varios tipos de polígono.
Clasificación de los polígonos según la forma de su contorno.
Polígonos
Simples
Convexos

Regulares

Irregulares

Cóncavos

Complejos

Según las propiedades que cumpla el contorno del polígono, es posible realizar las siguientes clasificaciones.

  • Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Equivalentemente, su frontera tiene un solo contorno.
  • Complejo o Cruzado, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.[10]
  • Convexo, si todo segmento que une dos puntos cualesquiera del contorno del polígono yace en el interior de este. Todo polígono simple y con todos sus ángulos internos, menores que 180º es convexo.
  • No convexo, si existe un segmento entre dos puntos de la frontera del polígono que sale al exterior del mismo. O si existe una recta capaz de cortar el polígono en más de dos puntos.
  • Cóncavo, si es un polígono simple y no convexo.
  • Equilátero, si tiene todos sus lados de la misma longitud.
  • Equiángulo, si tiene todos sus ángulos interiores iguales.
  • Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
  • Irregular, si no es regular. Es decir, si no es equilátero o equiángulo.
  • Cíclico, si existe una circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono. Todos los polígonos regulares son cíclicos.
  • Ortogonal o Isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos o .[11]
  • Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.
  • Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.
  • Reticular es simple y, al representarlo en un reticulado, cada vértice yace exactamente en un vértice de cuadrado unitario del reticulado (en este caso funciona la fórmula de Pick).
  • Monótono, si existe alguna dirección del plano en la cual todos los cortes del polígono en esa dirección consisten en un punto o un segmento.

Nombres de polígonos según su número de lados

Los polígonos tienen un nombre especial para designar el número de lados del mismo. Los nombres más comunes están en la siguiente tabla:[12]

Clasificación de polígonos
según el número de lados
Nombre n.º lados
trígono o triángulo3
tetrágono, cuadrángulo o cuadrilátero4
pentágono5
hexágono6
heptágono7
octógono u octágono8
eneágono o nonágono9
decágono10
endecágono o undecágono11
dodecágono12
tridecágono o triskaidecágono13
tetradecágono14
pentadecágono o pentedecágono15
hexadecágono16
heptadecágono17
octodecágono u octadecágono18
eneadecágono o nonadecágono19
isodecágono o icoságono20
icosakaihenágono21
icosakaidígono22
icosakaitrígono23
icosakaitetrágono24
icosakaipentágono25
icosakaihexágono26
icosakaiheptágono27
icosakaioctágono28
icosakaieneágono29
triacontágono30
triacontakaihenágono31
triacontakaidígono32
triacontakaitrígono33
triacontakaitetrágono34
triacontakaipentágono35
triacontakaihexágono36
triacontakaiheptágono37
triacontakaioctágono38
triacontakaieneágono39
tetracontágono40
tetracontakaihenágono41
tetracontakaidígono42
tetracontakaitrígono43
tetracontakaitetrágono44
tetracontakaipentágono45
tetracontakaihexágono46
tetracontakaiheptágono47
tetracontakaioctágono48
tetracontakaieneágono49
pentacontágono50
pentacontakaihenágono51
pentacontakaidígono52
pentacontakaitrígono53
pentacontakaitetrágono54
pentacontakaipentágono55
pentacontakaihexágono56
pentacontakaiheptágono57
pentacontakaioctágono58
pentacontakaieneágono59
hexacontágono60
hexacontakaihenágono61
hexacontakaidígono62
hexacontakaitrígono63
hexacontakaitetrágono64
hexacontakaipentágono65
hexacontakaihexágono66
hexacontakaiheptágono67
hexacontakaioctágono68
hexacontakaieneágono69
heptacontágono70
heptacontakaihenágono71
heptacontakaidígono72
heptacontakaitrígono73
heptacontakaitetrágono74
heptacontakaipentágono75
heptacontakaihexágono76
heptacontakaiheptágono77
heptacontakaioctágono78
heptacontakaieneágono79
octocontágono u octacontágono80
octacontakaihenágonos81
octacontakaidígonos82
octacontakaitrígonos83
octacontakaitetrágonos84
octacontakaipentágonos85
octacontakaihexágonos86
octacontakaiheptágonos87
octacontakaioctágonos88
octacontakaieneágonos89
eneacontágono o nonacontágono90
eneacontakaihenágonos91
eneacontakaidígonos92
eneacontakaitrígonos93
eneacontakaitetrágonos94
eneacontakaipentágonos95
eneacontakaihexágonos96
eneacontakaiheptágonos97
eneacontakaioctágonos98
eneacontakaieneágonos99
hectágono100
chiliágono o kiliágono1000
miriágono10000
decemiriágono100000
hectamiriágono o megágono1000000
googológono10100
apeirógono
enógonon

Véase también

Referencias

  1. Ayudantes de Trabajos U Oficios . Grupo V. Temario Y Test.e-book.. MAD-Eduforma. ISBN 978-84-665-5764-1. Consultado el 28 de noviembre de 2019.
  2. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2014). «Polígono». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). Madrid: Espasa. ISBN 978-84-670-4189-7.
  3. Gran Larousse Universal.
  4. «-Gono». Diccionario Etimológico de los sufijos españoles.
  5. Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0.
  6. Matemática (cuarto Año). EUNED. ISBN 978-9968-31-080-2. Consultado el 28 de noviembre de 2019.
  7. Keedy, Nelson: "Geometría", cooperación de Alianza para el Progreso.
  8. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2014). «Ángulo entrante». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). Madrid: Espasa. ISBN 978-84-670-4189-7.
  9. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2014). «Ángulo saliente». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). Madrid: Espasa. ISBN 978-84-670-4189-7.
  10. Diccionario de las matemáticas ISBN 84-8055-355-3
  11. Bassam Al-Zarif Zabala. «Definiciones básicas empleadas». Iluminación de polígonos con reflectores. Consultado el 3 de octubre de 2012.
  12. Salomon, David (18 de septiembre de 2011). The Computer Graphics Manual (en inglés). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-85729-886-7. Consultado el 28 de noviembre de 2019.

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