Relaciones de conmutación canónicas

En mecánica cuántica (física), las relaciones de conmutación canónicas son las relaciones fundamentales entre magnitudes conjugadas (cantidades que están relacionadas por definición de modo que una es la transformada de Fourier de la otra). Por ejemplo,

entre el operador de posición y operador momento en la dirección de una partícula puntual en una dimensión, donde es el conmutator de y  , es la unidad imaginaria, y es la constante de Planck reducida . En general, la posición y el momento son vectores de operadores y la relación de conmutación entre sus componentes se puede expresar como

donde es la delta de Kronecker.

Se le atribuye esta relación a Max Born (1925),[1] que la llamó "condición cuántica" y la empleó como postulado de la teoría. E. Kennard (1927) demostró que implicaba el principio de incertidumbre de Heisenberg.[2]

Relación con la mecánica clásica

Por contraste, en la física clásica, todos los observables conmutan y el conmutator sería cero. Aun así, una relación análoga existe reemplazando el conmutator con el corchete de Poisson multiplicado por :

Esta observación inspiró a Dirac para proponer que las versiones cuánticas , de los observables clásicos , satisfacen

En 1946, Hip Groenewold demostró que una correspondencia sistemática general entre conmutadores cuánticos y corchetes de Poisson no puede ser válida de manera consistente.[3] Aun así, existe una correspondencia sistemática entre el conmutador cuántico y una deformación del corchete de Poisson, el corchete de Moyal, y, en general, operadores cuánticos y observables clásicos y distribuciones en el espacio de fases. Groenewold descubrió el mecanismo de correspondencia, la transformación de Wigner-Weyl, que da lugar a una representación de la mecánica cuántica alternativa matemáticamente equivalente, conocida como cuantizción por deformación.[3]

Representaciones

El grupo generado por exponenciación del álgebra de Lie tridimensional determinada por la relación de conmutación se llama grupo de Heisenberg.

Según la formulación matemática estándar de la mecánica cuántica, los observables cuánticos como y tendrían que ser representados por operadores autoadjuntos en algún espacio de Hilbert. Es relativamente fácil de ver que dos operadores que satisfacen la relación de conmutación anterior no pueden ser acotados—tan solo hay que tomar la traza de ambos lados de las relaciones y utilizar la relación se consigue un número finito a la derecha y cero a la izquierda.

Alternativamente, notar que , por lo que las normas de los operadores satisfacen

, de modo que, para cualquier ,
.

Sin embargo, puede ser arbitrariamente grande, así que al menos uno de los operadores debe ser no acotado, y la dimensión del espacio de Hilbert no puede ser finita. Utilizando las relaciones de Weyl, de hecho, se puede demostrar que ambos operadores son no acotados.

Aun así, estas relaciones de conmutación canónicas se pueden escibir de un modo un poco "más domado" en términos de los operadores unitarios (acotados) y , que admiten representaciones de dimensión finita (por ejemplo, las matrices desplazamiento y reloj que generalizan las matrices de Pauli).

Las relaciones entre estos operadores son las relaciones de Weyl

.

El conmutator que define el grupo es entonces

.

La unicidad de las relaciones de conmutación canónicas entre la posición y el momento está garantizada por el teorema de Stone-von Neumann.

Generalizaciones

La fórmula sencilla

válida para la cuantización del sistema clásico más sencillo, puede ser generalizado al caso de un lagrangiano arbitrario [4] Identificamos las coordenadas canónicas (como en el ejemplo anterior, o un campo Φ(x) en el caso de teoría de campos cuánticos) y momentos canónicos πx (en el ejemplo anterior es , o más generalmente, alguna función que incluye derivadas de las coordenadas canónicas con respecto al tiempo):

Esta definición del momento canónico asegura que una de las ecuaciones de Euler–Lagrange tiene la forma

Entonces las relaciones de conmutación canónica tienen la forma

donde δij es la delta de Kronecker.

Además se puede demostrar fácilmente que

Relación de incertidumbre y conmutadores

Todas las relaciones de conmutación no triviales implican relaciones de incertidumbre,<[5] que contienen contribuciones semi-definidas positivas de los valores esperados de conmutadores y anticonmutadores. En general, para dos operadores hermíticos y , dadas las varianzas alrededor de los valores esperados en un estado , y análogamente para .

Entonces

donde es el conmutador de y , y es el anticonmutador.

Esto se sigue del uso de las desigualdades de Cauchy–Schwarz, ya que y ; y de modo parecido para los operadores desplazados y .

Sustituyendo y se obtiene la relación de incertidumbre de Heisenberg para y usual.

Relación de incertidumbre para operadores de momento angular

Para los operadores de momento angular , etc., se tiene que

donde es el símbolo de Levi-Civita, que invierte el signo de la respuesta bajo intercambio de un par de índices. Los operadores de espín cumplen una relación análoga.

Aquí, para y  ,[5] en los multipletes del momento angular , se tiene, para las componentes transversales del invariante de Casimir , las relaciones de simetría en

así como .

En consecuencia, la desigualdad anterior aplicada a esta relación de conmutación es

de ahí

y por tanto

De este modo se obtienen restricciones para el invariante de Casimir como , y por ello , entre otras.

Véase también

Referencias

  1. Born, M.; Jordan, P. (1925). «Zur Quantenmechanik». Zeitschrift für Physik 34: 858. Bibcode:1925ZPhy...34..858B. doi:10.1007/BF01328531.
  2. Kennard, E. H. (1927). «Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen». Zeitschrift für Physik 44 (4–5): 326-352. Bibcode:1927ZPhy...44..326K. doi:10.1007/BF01391200.
  3. Groenewold, H. J. (1946). «On the principles of elementary quantum mechanics». Physica 12 (7): 405-460. Bibcode:1946Phy....12..405G. doi:10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
  4. Townsend, J. S. (2000). A Modern Approach to Quantum Mechanics. Sausalito, CA: University Science Books. ISBN 1-891389-13-0.
  5. Robertson, H. P. (1929). «The Uncertainty Principle». Physical Review 34 (1): 163-164. Bibcode:1929PhRv...34..163R. doi:10.1103/PhysRev.34.163.
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