Subespacio (topología)

Sea \big(X,\mathcal{T}\big) un espacio topológico.

S \subset X será un subespacio de X \Leftrightarrow S es un espacio topológico para la topología inducida por X en S, llamada topología del subespacio, topología inducida, topología relativa o topología traza.

Definición

Con S definido arriba, definimos la topología del subespacio, \mathcal{T_S}, sobre S como

\mathcal{T_S}=\{S \cap U \big |U \in \mathcal{T}\}.

Es decir, un subconjunto de S es abierto si es intersección de S con algún abierto de X.

Ejemplo

En la recta real, \mathbb{R}, con su topología habitual ...

Propiedades

i) S es un subespacio abierto de X.
ii) Un subespacio de S es abierto en S.
iii) El subespacio de S es abierto en X.
i) S es un subespacio cerrado de X.
ii) Un subespacio de S es cerrado en S.
iii) El subespacio de S es cerrado en X.

Véase también

Referencias

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