Teoría de categorías

Una categoría con objetos X,Y,Z y morfismos f, g, y g∘f.

La teoría de categorías es un estudio matemático que trata de axiomatizar de forma abstracta diversas estructuras matemáticas como una sola, mediante el uso de objetos y morfismos. Al mismo tiempo trata de mostrar una nueva forma de ver las matemáticas sin incluir las nociones de elementos, pertenencia, entre otras.

Historia

La teoría de categorías fue introducida en Topología algebraica, por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane en 1942, en un importante paso para la transición desde homología a Teoría de la homología. Stanislaw Ulam afirma que existían ideas parecidas en la escuela polaca de los años 30 (ver Stanislaw Ulam).[1]

Los desarrollos subsiguientes de la teoría fueron impulsados por las necesidades computacionales del Álgebra homológica y más tarde por las necesidades axiomáticas de la Geometría algebraica.[2] La teoría general -cierta actualización del álgebra universal con muchas características nuevas que daban pie a una cierta flexibilidad en semántica y lógicas de orden superior- vino más tarde.

Estas aplicaciones de categorías en el campo de los fundamentos están siendo trabajadas en bastante detalle y no solamente en matemáticas. Existen matemáticos como William Lawvere que trabajan en la física, existen físicos trabajando en n-categorías, John Baez. La Lógica Categórica es ahora un campo bien definido basado en la teoría de tipos para la Lógica intuicionista, con aplicaciones a la teoría de la programación funcional y la teoría de dominios, todas enmarcadas en una categoría cartesianamente cerrada como descripciones no sintácticas del cálculo lambda. El uso del lenguaje de la teoría de las categorías le permite a uno aclarar qué tienen exactamente en común todas estas áreas.

Relación Filosófica

Se elige el término categoría de Aristóteles pero en el sentido de Kant con la intención de asociarlo a una forma pura pero en el contexto exclusivamente matemático, es decir, sin efectos fuera de las matemáticas.

Funtores

Con el concepto de categoría se pretende capturar -poniendo el énfasis en el concepto de relación (de aplicación), más que de elemento y pertenencia- la esencia de una clase de objetos matemáticos, que se relacionan mediante aplicaciones, los morfismos en la categoría en cuestión. Por ejemplo, la clase de los grupos: en vez de estudiar los objetos individuales (cada grupo) como se vino haciendo, se enfatizan dichos morfismos entre ellos, que no son otra cosa que las aplicaciones que "conservan su estructura". En el ejemplo de los grupos, dichos morfismos son los homomorfismos de grupos. Entonces, una vez que tenemos nuestro "universo categorial" definido -esto es, una categoría- es posible relacionarla con otras categorías mediante funtores, que son cierta generalización del concepto de función para categorías: un funtor asocia a cada objeto de una categoría un objeto de la otra, y a cada aplicación de la primera una aplicación de la segunda. De cierto modo nos lleva de una imagen de la categoría hacia la otra categoría, con ciertos grados de "afinamiento". Ciertas "construcciones naturales", como el grupo fundamental de un espacio topológico, pueden ser expresadas como funtores. Además, dichos funtores están muy a menudo naturalmente relacionados y esto lleva al concepto de transformación natural.

Categorías especiales, como los topos, están sirviendo también como alternativa "generalizadora" y conceptualmente más rica de la teoría de conjuntos como fundamento de las matemáticas [cita requerida].

Aproximación de la teoría de clases

Para eliminar los problemas surgidos de las paradojas como la de Russell se planteó el siguiente parche a la Teoría de conjuntos:

Llamaremos "clase" a una agrupación de objetos.

Llamaremos "conjunto" a las clases capaces de ser, ellas mismas, objetos de otras clases.

Llamaremos "clase propia" a las clases incapaces de ser objetos de otra clase.

Definición de categoría

\mathcal{A} es una categoría si tiene:

1) una clase de objetos de \mathcal{A}, llamado {Ob(}\mathcal{A}).
2) , para todo A,B \in Ob( \mathcal{A} ) , un conjunto de morfismos de A_{}^{} en B_{}^{}, llamado Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)_{}^{}, cuyos elementos {f}\in Mor_{ \mathcal{A} }(A,B) se escriben como f:A \rightarrow B o también A \xrightarrow{\;\;\;\;f\;\;\;\;} B.
3) , para todo {A,B,C,D} \in {Ob(}\mathcal{A}{)}, y para todo {f}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(A,B)}, {g}\in {Mor_{ \mathcal{A} }(B,C)} se cumple las siguientes propiedades:
a) existe {h}\in {Mor_{ \mathcal{A} } (A,C)} tal que h=gf:=g \; {\circ}_{\mathcal{A}}\; f, es decir, tenemos la aplicación

\begin{matrix} {Mor_{ \mathcal{A} } (A,B) \times{} Mor_{ \mathcal{A} } (B,C)} & \longrightarrow{} & {Mor_{ \mathcal{A} } (A,C)} \\ {(f,g)} & \mapsto & {gf} \end{matrix}

b) propiedad asociativa en la composición, es decir k(gf)=(kg)f_{}^{}, para todo k \in {Mor_{ \mathcal{A} }(C,D)}.
c) existencia del morfismo identidad I_B^{ \mathcal{A} } \in Mor_{ \mathcal{A} }(B,B) tal que I_B^{ \mathcal{A} }f=f y gI_B^{ \mathcal{A} }=g.
Nota
Si las clases de objetos son solamente conjuntos, se dice que la categoría es "pequeña" (small category). Existen importantes categorías que no lo son.

Definición de subcategoría


Dadas dos categorías \mathcal{A} y \mathcal{B}, diremos que \mathcal{B} es una subcategoría de \mathcal{A} si:

i)  Ob(\mathcal{B}) es subclase de {Ob(}\mathcal{A}{)}
ii) \forall A,B \in Ob( \mathcal{B} ), \; Mor_{ \mathcal{B} }(A,B) \subset Mor_{\mathcal{A}} (A,B)
iii)  \forall A,B,C \in Ob( \mathcal{B} ), \; \forall f \in Mor_{\mathcal{B}}(A,B), \; \forall g \in Mor_{\mathcal{B}}(B,C),
f \; \circ{}_{\mathcal{B}} \; g = f \; \circ{}_{\mathcal{A}} \; g
iv) \forall A \in Ob( \mathcal{B} ), \; I_{A}^{\mathcal{B}}=I_{A}^{\mathcal{A}}.
nota
Diremos que la subcategoría es llena si  Mor_{\mathcal{B}}(A,B) = Mor_{\mathcal{A}}(A,B)

Ejemplos básicos

De cada categoría se da el nombre, objetos que forman la clase y morfismos propios entre dichos objetos respectivamente:

\forall A,B \in Ob(Top) \subset Ob(Con) y Mor_{Top}(A,B) \subset Mor_{Con}(A,B) .
\forall A,B \in Ob(G) \subset Ob(Con) y Mor_{G}(A,B) \subset Mor_{Con}(A,B) .
\forall A,B \in Ob(Gab) \subset Ob(G) y Mor_{Gab}^{}(A,B) = Mor_{G}(A,B) .
\forall A,B \in Ob(Vec_K) \subset Ob(Gab) y Mor_{Vec_K}(A,B) \subset Mor_{Gab}(A,B) .
  • La categoría An, de todos los anillos y las aplicaciones entre estos.
\forall A,B \in Ob(An) \subset Ob(Gab) y Mor_{An}(A,B) \subset Mor_{Gab}(A,B) .
\forall A,B \in Ob(An_c) \subset Ob(An) y Mor_{AN_c}(A,B) = Mor_{An}(A,B) .

Mor(X,Y) = \begin{cases} \begin{matrix} \left\{ (X,Y) \right\} & {si X \leq Y} \\ \emptyset & {si \; no} \end{matrix} \end{cases} .

Definiciones para tipos de morfismos

Dada una categoría \mathcal{A} y objetos  A,B \in Ob( \mathcal{A} ), diremos que un morfismo f \in Mor(A,B) es :

Proposición

Dada una categoría \mathcal{A}, objetos  A, \; B \in Ob( \mathcal{A} ), y f \in Mor(A,B), se cumplen:

Demostración
Para el primero, ver que f_{}^{} es un monomorfismo:
Tomando  \forall h_1,h_2 \in Mor(C,A) tales que fh_1=fh_2^{}, entonces también  g (f h_1) = g (f h_2^{}) , por 3)b) de la definición de categoría, tenemos que  (g f) h_1 = (g f) h_2^{} y como  gf_{}^{} es monomorfismo, implica que  h_1 = h_2^{} y tenemos por definición que f_{}^{} es un monomorfismo.
Lo mismo para el segundo, ver que f_{}^{} es epimorfismo:
Tomando  \forall h_1,h_2 \in Mor(B,C) tales que h_1f=h_2^{}f, entonces también  (h_1 f) g = (h_2^{} f) g , por 3)b) de la definición de categoría, tenemos que  h_1 ( f g ) = h_2^{} ( f g ) y como  fg_{}^{} es un epimorfismo, implica que  h_1 = h_2^{} y tenemos por definición que f_{}^{} es un epimorfismo.
Para el tercero, si  \exists g \in Mor(B,A) tal que fg = I_B^{} y gf = I_A^{}
Tomando  \forall h_1,h_2 \in Mor(B,C) tales que fh_1=fh_2^{}, entonces también  g ( f h_1) = g ( f h_2^{}) , por 3)b) de la definición de categoría, tenemos que  (gf) h_1= (gf) h_2^{} y como  gf_{}^{}=I_A, implica que  I_A h_1 = I_A h_2^{} , implica que  h_1=h_2^{} , e implica que f_{}^{} es un monomorfismo..
Tomando  \forall h_1,h_2 \in Mor(B,C) tales que h_1f=h_2^{}f, entonces también  ( h_1f) g=(h_2^{}f ) g , por 3)b) de la definición de categoría, tenemos que  h_1(fg) = h_2^{}(fg) y como  fg_{}^{}=I_B, implica que  h_1 I_B=h_2 I_B^{} , implica que  h_1=h_2^{} , e implica que f_{}^{} es un epimorfismo.
Nota
Existen morfismos que son monomorfismos y epimorfismos que no son isomorfismos.

Definiciones para tipos de objetos

Dada una categoría \mathcal{A}, diremos que un objeto  A \in Ob( \mathcal{A} ) es:

Ejemplos

Proposición

Dada una categoría \mathcal{A}, entre sus objetos iniciales/finales hay un único isomorfismo.

Demostración

Dados A_{}^{} y B_{}^{} objetos iniciales/finales, entonces los siguientes conjuntos de morfismos solo tienen un elemento:

Mor(A,A)=\{I_A^{}\}
Mor(A,B)=\{f_{}^{}\}
Mor(B,A)=\{g_{}^{}\}
Mor(B,B)=\{I_B^{}\}

como gf \in Mor(A,A) entonces gf=I_A^{} y como fg \in Mor(B,B) entonces fg=I_B^{}, por tanto entre A_{}^{} y B_{}^{} hay un único isomorfismo.

Definición de funtor


Dadas dos categorías \mathcal{A} y \mathcal{B}, diremos que  F: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B} es:

1),\forall A \in Ob( \mathcal{A} ), tenemos que  F(A) \in Ob( \mathcal{B} ).
2),\forall X,Y \in Ob( \mathcal{A} ), \; \forall f \in Mor_{ \mathcal{A} }(X,Y) , tenemos que  F(f) \in Mor_{ \mathcal{B} }( F(X) , F(Y) ) tal que:
a),\forall A \in Ob( \mathcal{A} ), tenemos que  F( I_A ) = I_{ F(A) }.
b), \forall X,Y,Z \in Ob( \mathcal{A} ), \; \forall f \in Mor_{ \mathcal{A} }(X,Y) , \; \forall g \in Mor_{ \mathcal{A} }(Y,Z) ,
F(g \; {\circ}_{\mathcal{A}}\; f )=F(g) \; {\circ}_{\mathcal{B}}\; F(f).
1),\forall A \in Ob( \mathcal{A} ), tenemos que  F(A) \in Ob( \mathcal{B} ).
3),\forall X,Y \in Ob( \mathcal{A} ), \; \forall f \in Mor_{ \mathcal{A} }(X,Y) , tenemos que  F(f) \in Mor_{ \mathcal{B} }( F(Y) , F(X) ) tal que:
a),\forall A \in Ob( \mathcal{A} ), tenemos que  F( I_A ) = I_{ F(A) }.
b), \forall X,Y,Z \in Ob( \mathcal{A} ), \; \forall f \in Mor_{ \mathcal{A} }(X,Y) , \; \forall g \in Mor_{ \mathcal{A} }(Y,Z) ,
F(g \; {\circ}_{\mathcal{A}}\; f )=F(f) \; {\circ}_{\mathcal{B}}\; F(g).
Nota
Dadas tres categorías \mathcal{A}, \; \mathcal{B}, \; \mathcal{C}, y dos funtores covariantes  F: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B} y G: \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{C}, la composición es el funtor covariante GF: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{C} tal que:

Ejemplos

Definiciones para tipos de funtores

Dadas dos categorías \mathcal{A} y \mathcal{B}, diremos que un funtor covariante  F: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B} es:

Dado un funtor covariante  F: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B} , diremos que es un isomorfismo de categorías, si  \exists G: \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{A}\; : \; GF = I_{ \mathcal{A} } y FG = I_{ \mathcal{B} } .

Definición de transformación natural

Dadas dos categorías  \mathcal{A} ,  \mathcal{B} , y dos funtores covariantes  F: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B} y G: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}, hay una transformación natural  \tau_{}^{} entre  F_{}^{} y  G_{}^{} si tiene:

\begin{matrix}
 \;\;\;\;\;\;\;\; F(X) & \xrightarrow{\;\;\;\; \tau_X \;\;\;\;} & G(X)\;\;\;\;\;\;\;\; \\
 F(f) \downarrow & & \downarrow G(f) \\
 \;\;\;\;\;\;\;\; F(Y) & \xrightarrow{\;\;\;\; \tau_Y \;\;\;\;} & G(Y)\;\;\;\;\;\;\;\;
 \end{matrix}

Diremos que un morfismo  \tau_{}^{} es una equivalencia si  \forall X \in Ob( A ), \; \tau_A es un isomorfismo.

Diremos que un funtor  F_{}^{}: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B} es una equivalencia si existe un funtor  G_{}^{} : \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{A} tal que  GF = I_{ \mathcal{A} } y  FG = I_{ \mathcal{B} } , donde diremos que las dos categorías son equivalentes.

Ejemplos

Espacio vectorial dual: un ejemplo de un funtor contravariante desde la categoría de todos los espacios vectoriales reales a la categoría de todos los espacios vectoriales reales está dado por la asignación a cada objeto (cada espacio vectorial real) un objeto llamado espacio dual y a cada morfismo (esto es, a cada aplicación lineal), su dual o traspuesta.

Álgebra de las funciones continuas: un funtor contravariante desde la categoría de los espacios topológicos (cuyos morfismos son las aplicaciones continuas) a la categoría de las álgebras asociativas reales, es dado asignando a cada espacio topológicoX el álgebra C(X) de todas las funciones reales continuas sobre tal espacio. Cada aplicación continua f : XY (morfismo en la categoría de espacios topológicos) induce un homomorfismo de álgebras C(f) : C(Y) → C(X) mediante la regla C(f)(φ) = φ o f para todo φ en C(Y).

Homomorfismo de grupos: a cada par A, B de grupos abelianos se puede asignar el grupo abeliano Hom(A,B) que consiste en todos homomorfismos de grupos desde A a B. Esto es un funtor que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo, esto es, es un funtor Abop x AbAb (donde Ab denota la categoría de los grupos abelianos con los homomorfismos de grupos). Si f : A1A2 and g : B1B2 son morfismos en Ab, entonces se tiene este homomorfismo Hom(f,g) : Hom(A2,B1) → Hom(A1,B2) dado por φ |→ g o φ o f.

Funtores 'Olvido', o 'Forgetful': el funtor F : RingAb que aplica un anillo hacia su grupo subyacente abeliano es un funtor que olvida ("forgetful"), que nos crea una imagen de algo más "rico" en un objeto más pobre, con menos estructura. Los morfismos en la categoría de Anillos (homomorfismos de anillos) se convierten en morfismos en Ab (la categoría de grupos abelianos y sus homomorfismos).

Productos tensoriales: Si C denota la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpo fijado, con las aplicaciones lineales como morfismos, entonces el producto tensorial V [símbolo] W define un funtor C × CC que es covariante en ambos argumentos.

Álgebras de Lie: A cada grupo de Lie real o complejo se le asigna su real (o compleja) Álgebra de Lie, con lo que se define un funtor.

Grupo fundamental: Considera la categoría de los espacios topológicos con "puntos base", con "puntos distinguidos". Los objetos son los pares (X,x), donde X es un espacio topológico y x es un elemento de X. Un morfismo desde (X,x) hacia (Y,y) viene dado por una aplicación continua f : XY tal que f(x) = y.

Para cada espacio topológico con punto base (X,x), definiremos un grupo fundamental. El cual va a ser un funtor desde la categoría de los espacios topológicos con puntos base hacia la categoría de los grupos.

Sea f una función continua desde el intervalo unidad [0,1] hacia X tal que f(0) = f(1) = x. (Esto es equivalente a que, f sea una aplicación continua desde el círculo unidad en el plano complejo tal que f(1) = x.) Llamamos a tal función un lazo en X. Si f y g son lazos en X, podemos pegarlos uno a continuación del otro definiendo h(t) = f(2t) cuando t recorra [0,0.5] y h(t) = g(2(t - 0.5)) cuando t recorra [0.5,1]. Es fácil comprobar que este h también es un lazo. Si existe una aplicación continua F(x,t) desde [0,1] × [0,1] a X tal que f(t) = F(0,t) es un lazo y g(t) = F(1,t) es también un lazo entonces se dice que f y g son equivalentes. Se puede probar que esto define una relación de equivalencia. Nuestra regla de composición asegura que todo vaya bien. Ahora, además, podemos ver que se tiene un elemento neutro e(t) = x (una aplicación constante) y que cada lazo tiene un lazo inverso. De hecho, si f(t) es un lazo entonces f(1 - t) es su inverso. El conjunto de clases de equivalencia de lazos forma entonces un grupo (el grupo fundamental de X). Se puede comprobar que la aplicación desde la categoría de espacios topológicos con punto base a la categoría de grupos es funtorial: un (homo/iso)morfismo topológico se hará corresponder naturalmente a un (homo/iso)morfismo de grupos.

Teoría de haces: prehaces. Si X es un espacio topológico, entonces los conjuntos abiertos en X pueden ser considerados como los objetos de una categoría CX; existiendo un morfismo de U a V si y sólo si U es un subconjunto de V. En sí misma, esta categoría no es muy excitante, pero los funtores desde CXop hacia otras categorías, llamados pre-haces sobre X, son interesantes. Por ejemplo, asignando a cada conjunto abierto U el álgebra asociativa de las funciones reales sobre U, se obtiene un pre-haz de álgebras sobre X.

Este ejemplo de motivación se generaliza mediante la consideración de pre-haces sobre categorías arbitrarias: un pre-haz sobre C es un funtor definido sobre Cop. El Lema de Yoneda da cuenta de que a menudo una categoría C puede extenderse mediante la consideración de la categoría de pre-haces sobre C.

La Categoría de las categorías pequeñas: La categoría Cat posee como objetos a todas las categorías pequeñas, y como morfismos a los funtores entre ellas.

Construcciones universales

Los funtores son a menudo definidos por medio de propiedades universales; como ejemplos tenemos los productos tensoriales de arriba, la suma directa y el producto directo de grupos o de espacios vectoriales, la construcción de los grupos libres módulos, y límites directos e inversos. Los conceptos de límite y colímite generalizan múltiples conceptos. Las construcciones universales a menudo dan lugar a pares de funtores adjuntos.

Producto

Dada una categoría  \mathcal{A} y una familia de objetos \{A_i\}_{i \in I}, llamaremos producto de \{A_i\}_{i \in I} al par (A,\{\pi_i\}_{i \in I}) donde  A \in Ob(\mathcal{A}) y \{\pi_i\}_{i \in I} es una familia de morfismos donde \pi_i : A \to A_i \; \forall i \in I , y tal que satisface la condición de que para cada familia \{f_i\}_{i\in I }, donde f_i:X \to A_i \; \forall i \in I , existe un único morfismo  F:X \to A tal que  \pi_i F = f_i ,\; \forall i \in I.

El producto se denota por  \prod_{i \in I } A_i = A y en particular también A_1 \times \dots \times A_n =A si  I=\{1,\;\dots,n\}.

Coproducto

Dada una categoría  \mathcal{A} y una familia de objetos \{A_i\}_{i \in I}, llamaremos coproducto de \{A_i\}_{i \in I} al par (A,\{\sigma_i\}_{i \in I}) donde  A \in Ob(\mathcal{A}) y \{\sigma_i\}_{i \in I} es una familia de morfismos donde \sigma_i : A_i \to A \; \forall i \in I , y tal que satisface la condición de que para cada familia \{f_i\}_{i\in I }, donde f_i:A_i \to X \; \forall i \in I , existe un único morfismo  F:A \to X tal que  F \sigma_i = f_i ,\; \forall i \in I.

El Coproducto se denota por  \coprod_{i \in I } A_i = A .

Otros conceptos y resultados

Las definiciones de categorías y funtores nos proveen sólo de la base inicial del álgebra categorial. Los tópicos listados abajo son muy importantes. Aunque hay fuertes interrelaciones entre todos ellos, el orden en que los damos puede ser considerado una guía para posteriores lecturas.

Referencias

  1. Introducción al álgebra abstracta".Juan Francísco Escamílla Catillo , pp. 329.
  2. Introducción al álgebra abstracta".Juan Francísco Escamílla Catillo , pp. 329.

Bibliografía

Los dos textos de Lawvere son las introducciones más sencillas que existen. El de Mac Lane es uno "clásico" en esta materia, y el Borceaux es una pequeña enciclopedia.

Enlaces externos

http://arrows.ourproject.org/

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