Variedad diferenciable

En Geometría y Topología, una variedad diferenciable es un tipo especial de variedad topológica, a la que podemos extender las nociones de cálculo diferencial que normalmente usamos en \mathbb{R}^n. En una variedad diferenciable M podremos definir lo que es una función diferenciable f:M \rightarrow{}\mathbb{R} , y campos de tensores diferenciables (incluidos campos de vectores). El estudio del cálculo en variedades diferenciables se conoce como geometría diferencial.

Introducción

Para un desarrollo informal del tema

Generalización de los conceptos de curva y superficie

Una variedad diferenciable representa una generalización, en dos aspectos básicos, del concepto de superficie diferenciable:

Antes de hacer la segunda generalización, podríamos pensar que una variedad es diferenciable, informalmente hablando, si cada uno de sus puntos tiene espacio tangente, es decir, no tiene "picos" ni "filos". Pero para hacer una definición formal necesitaremos que esta no haga alusión a un posible embebimiento de la variedad en un espacio ambiente.

Un poco de historia

Riemann, en el siglo XIX, observó la importancia de definir la noción de variedad de un modo intrínseco, sin requerir que el espacio topológico subyacente estuviera embebido en un espacio afín. La definición formal precisa fue introducida por primera vez por Hermann Weyl en 1913.

Las variedades diferenciables aparecen en diversos campos de la Física:

Conceptos previos de variedades topológicas

Recordemos los conceptos de variedad topológica y de cartas:

Podríamos cuestionarnos cómo sería posible determinar si una función f:M \rightarrow{}\mathbb{R} definida en una variedad topológica es una función diferenciable. Aparentemente bastaría exigir que f \circ \varphi_\alpha^{-1}, su expresión en un entorno coordenado sea diferenciable. Pero esta condición no sería consistente si realizamos un cambio de carta. En efecto, si observamos su expresión en otra carta:

f \circ \varphi_\beta^{-1}= f \circ (\varphi_\alpha^{-1} \circ \varphi_\alpha) \circ \varphi_\beta^{-1}=(f \circ \varphi_\alpha^{-1}) \circ (\varphi_\alpha \circ \varphi_\beta^{-1}),

necesitaremos para mantener la consistencia que el cambio de cartas representado por el último paréntesis sea diferenciable. Esta exigencia es la base de la definición de estructura diferenciable.

Definición

Estructura diferenciable

Dada una variedad topológica M y un número entero r \geq 0, una estructura diferenciable (o atlas maximal) F de clase r sobre M es una familia  \{ (U_{\lambda}, \varphi_{\lambda}): \lambda \in \Lambda \} de sistemas coordenados sobre M de manera que se cumpla que:

  1. U_{\lambda} recubre M, es decir, \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_{\lambda} = M,
  2. dados dos cualesquiera \alpha, \beta \in \Lambda ha de ocurrir que la aplicación \varphi_{\alpha} \circ \varphi^{-1}_{\beta}, llamada cambio de cartas sea diferenciable de orden r.
  3. F es maximal (relativo al orden dado por la inclusión de conjuntos) entre todas las familias de entornos coordenados sobre M bajo las condiciones 1 y 2.

Variedad diferenciable

Se dice que el par (M,F) formado por la variedad topológica M de dimensión n y por la estructura diferenciable F de clase r es una variedad diferenciable de dimensión n y clase r.

Hay una cierta confusión sobre la terminología variedad diferenciable (sin más especificaciones) y variedad suave. En cualquier caso, para evitar confusiones, todos los textos indican qué entienden por variedad diferenciable.

Subvariedad diferenciable

Es cualquier subconjunto de una variedad diferenciable que mediante la topología inducida de la variedad original sigue teniendo estructura de variedad diferenciable. En general las subvariedades diferenciables son los subconjuntos de puntos para los cuales es posible definir localmente una función diferenciable f que satisfaga:

f(p) = 0,\ p\in \mathcal{M}

Los conjuntos no suaves, o que satisfaciendo una ecuación similar a la anterior pero donde f no fuera diferenciable en general no constituyen subvariedades diferenciables.

Cálculo en variedades

Aspectos que se generalizan

Muchas de las técnicas del cálculo multivariable son aplicables mutatis mutandis en variedades diferenciables. Podemos definir la derivada direccional de una función diferenciable en la dirección marcada por un vector tangente a la variedad. Dicha derivada se comportará de modo similar al de la derivada ordinaria de una función definida en el espacio euclídeo, al menos localmente: habrá versiones del teorema de la función implícita y de función inversa.

Sin embargo, la derivada direccional de un campo de vectores no estará definida de forma directa. Existen varias generalizaciones que captan ciertas características formales de la derivación en espacios euclídeos. Las principales son:

Las ideas del cálculo integral también pueden extenderse a las variedades diferenciables. Encontrarán su expresión natural en el lenguaje del cálculo exterior con formas diferenciables. Teoremas fundamentales del cálculo integral en varias variables, en particular el teorema de Green, el de la divergencia y el de Stokes se generalizan en un solo teorema llamado teorema de Stokes.

Vectores tangentes en un punto

En una variedad abstracta, al no considerarse embebida en ningún espacio ambiente, no podremos visualizar el espacio tangente como un subespacio afín del ambiente. La generalización del concepto de espacio tangente requerirá concebir los vectores tangentes como operadores que representan una derivada direccional.

En \mathbb{R}^n podemos visualizar un vector X_p=(a^1, \cdots ,a^n) como un operador X_p:C^\infty(p) \longrightarrow \mathbb{R} que actúa sobre una función f \in C^\infty (p) diferenciable en un entorno cualquiera de p, y nos devuelve su derivada en la dirección marcada por X_p:

X_p(f)=\sum{a^i \frac{\partial f}{\partial x^i}}

En los años 1960 surge la definición axiomática de vector tangente en un punto de una variedad, como generalización de lo anterior. Un vector X_p tangente a una variedad será un operador X_p:C^\infty(p) \longrightarrow \mathbb{R} que satisfaga:

  1. la condición de linealidad: X_p(\alpha f + \beta g)=\alpha X_p(f)+\beta X_p(g)
  2. la regla de Leibniz: X_p(f g)=X_p(f)g(p)+f(p)X_p(g).

El conjunto de vectores tangentes en un punto forman un espacio vectorial de la misma dimensión que la variedad llamado espacio tangente en p y notado como T_p M. En principio, espacios tangentes en puntos distintos no son comparables. Pero podemos formar con ellos una variedad de dimensión el doble de la dimensión de M, que se llamará fibrado tangente y se notará como TM. Como conjunto, TM = \cup_{p \in M} {T_p M}

Aplicaciones diferenciables

Una aplicación F: M \longrightarrow N se dirá diferenciable si su expresión en cartas lo es. Formalmente, F es diferenciable si para todo punto p de M podemos encontrar una carta (U, \phi) de M que lo contenga y una carta (V, \psi) de N que contenga a F(p) tales que \psi \circ F \circ \phi^{-1} sea diferenciable.

Una aplicación diferenciable induce un homomorfismo de espacios vectoriales dF_p :T_p M \longrightarrow T_{f(p)} N entre los espacios tangentes respectivos. Al igual que en el cálculo diferencial ordinario, podremos aproximar un objeto diferenciable (F) por un objeto lineal ( d_p F ).

Relación con variedades topológicas

Dada una variedad topológica, nos podemos preguntar si admitirá siempre una estructura diferenciable C^k o si dicha estructura será única. En primer lugar, según un teorema debido a Whitney, en cualquier variedad con una estructura C^k con k>0, hay una única estructura C compatible con la anterior.

La existencia y unicidad está garantizada en dimensiones menores que 4:

La situación es diferente en dimensión superior:

Algunos ejemplos:

Dimensión 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Estructuras 1 1 1 ? 1 1 28 2 8 6 992 1 3 2 16256 2 16 16

Definiciones alternativas

Existen al menos dos maneras de definir lo que es una variedad diferenciable, ambas equivalentes: por medio de parametrizaciones o por medio de aplicaciones coordenadas. La diferencia es sutil, pero importante.

Además, en el caso de espacios euclídeos existe una serie de definiciones equivalentes que son más sencillas que en el caso general.

Definición mediante parametrizaciones.

Sea M un conjunto (en principio pudiera ser vacío, pero es un caso trivial), n \geq 0 y r \geq 0 dos números enteros, una familia  \{ (U_{\lambda}, x_{\lambda}): \lambda \in \Lambda \} en la que cada U_{\lambda} \subset \mathbb{R}^n es un abierto y cada x_{\lambda}: U_{\lambda} \longrightarrow M una aplicación inyectiva, de manera que se cumpla que:

  1. \bigcup_{\lambda \in \Lambda} x_{\lambda} (U_{\lambda}) = M,
  2. dados cualesquiera dos \alpha, \beta \in \Lambda de forma que x_{\alpha} (U_{\alpha}) \cap x_{\beta} (U_{\beta}) = W \neq \varnothing ha de ocurrir que x^{-1}_{\alpha}(W) y x^{-1}_{\beta}(W) son abiertos de \mathbb{R}^n y la aplicación x^{-1}_{\alpha} \circ x_{\beta} es diferenciable de orden r en U_{\alpha} (i.e., x^{-1}_{\alpha} \circ x_{\beta} \in C^r(U_{\alpha})).

bajo estas condiciones, cada par (U_{\lambda}, x_{\lambda}) de manera que p \in x_{\lambda} (U_{\lambda}) \subset M se denomina una carta local o sistema de coordenadas de M en p, x_{\lambda} se denomina parametrización de M para p, x_{\lambda}(U_{\lambda}) se denomina entorno coordenado de p, y la familia  \{ (U_{\lambda}, x_{\lambda}): \lambda \in \Lambda \} es denominada una atlas sobre M. Si un atlas A es maximal (relativo al orden dado por la inclusión de conjuntos) entre todos los atlas sobre M (por supuesto bajo las condiciones 1 y 2, ya que de otra manera no sería atlas) se dice que el atlas A es una estructura diferenciable sobre M.

El conjunto \{ G \subset M: x^{-1}_{\lambda}(G) \in \tau(U_{\lambda}) , \lambda \in \Lambda \} (donde aquí \tau(U_{\lambda}) representa la topología del conjunto U_{\lambda}) no es otra cosa que la topología final en M para la familia  \{ (U_{\lambda}, x_{\lambda}): \lambda \in \Lambda \} . Cuando se toma una estructura diferenciable A sobre M y la topología final en M para esa estructura diferenciable hace de M un espacio topológico que cumple el segundo axioma de numerabilidad y la propiedad de Hausdorff, entonces se dice que el par (M,A) formado por el conjunto M y la estructura diferenciable A sobre M es una variedad topológica de dimensión n y clase r. Cuando además r > 0, entonces se dice que (M,A) es una variedad diferenciable (de dimensión n y clase r).

Definiciones en espacios euclídeos

Existen al menos cuatro maneras (todas equivalentes entre sí) de definir una variedad diferencial cuando se las considera como subconjuntos de un espacio euclídeo. Cada una de ellas es útil, y dependiendo del contexto o de la dificultad del problema se usará una u otra, o incluso se combinarán varias a la vez.

Representación implícita de una variedad diferenciable

Sea E un espacio euclídeo de dimensión n \geq 0 y sea S \subset E. Diremos que S es una variedad diferenciable en E de dimensión k (donde 0 \leq k \leq n es un número entero) y clase C^r (donde r \geq 1 es un número entero) si para cada x_0 \in S existe un entorno abierto U \subset E de x_0 y una aplicación \Phi: U \longrightarrow \mathbb{R}^{n-k} de manera que:

  1. \Phi es de clase r sobre U (esto es, \Phi \in C^r(U)),
  2. la matriz jacobiana de \Phi tiene rango n-k (es decir, rang[D\Phi(x_0)]= n-k),
  3. S \cap U = \{x \in U:\Phi (x)=0\}.

A la igualdad \Phi(x)=0 la llamaremos representación implícita local de la variedad S en el punto x_0, o simplemente diremos que la variedad viene dada implícitamente por \Phi en x_0.

Si existe un abierto V \subset E y una aplicación \Phi \in C^r(V) (donde r \geq 1 es un número entero) de manera que S=\{x \in V: \Phi(x) = 0, rang[D\Phi(x)] = n-k\} \neq \varnothing, a la igualdad \Phi(x)=0 se la denomina representación implícita global de la variedad, o se dice simplemente que la variedad viene dada implícitamente por \Phi. En este caso podemos tomar como representación implícita local para cada punto de S el abierto U = \{x \in V: rang[D\Phi(x)]= n-k\} y la aplicación \Phi.

Representación explícita de una variedad diferenciable

Sea E un espacio euclídeo de dimensión n \geq 0 y sea S \subset E. Diremos que S es una variedad diferenciable en E de dimensión k (donde 0 \leq k \leq n es un número entero) y clase C^r (donde r \geq 1 es un número entero) si para cada x_0 \in S existen:

  1. una base <u_1, u_2,..., u_n> de E,
  2. un abierto V \subset E_1 de z_0 := x_0^1 u_1 + x_0^2 u_2 + ... + x_0^k u_k, donde se define el subespacio E_1 como el espacio generado por \{u_1,..., u_k\},
  3. un abierto W \subset E_2 de y_0 := x_0^{k+1} u_{k+1} + x_0^{k+2} u_{k+2} + ... + x_0^n u_n, donde se define el subespacio E_2 como el espacio generado por \{u_{k+1},..., u_n\},
  4. una aplicación f: V \longrightarrow W de clase r sobre V (esto es, f \in C^r(V))de manera que f(z_0)=y_0 y S \cap (V \times W) = \{ (z,f(z)) \in E_1 \times E_2 : z \in V\}.

La última condición equivale a decir que S \cap (V \times W) es la gráfica Gr(f) de f. A la igualdad y = f(z), z \in V, o simplemente a la aplicación f, se le denomina representación explícita local de la variedad S en el punto x_0. Si existe una única aplicación f tal que S = Gr(f), entonces f se denomina representación explícita global de la variedad.

Representación difeomórfica local de una variedad diferenciable

Sea E un espacio euclídeo de dimensión n \geq 0 y sea S \subset E. Diremos que S es una variedad diferenciable en E de dimensión k (donde 0 \leq k \leq n es un número entero) y clase C^r (donde r \geq 1 es un número entero) si para cada x_0 \in S existe un entorno abierto U_0 \subset E de x_0 y una aplicación \Psi: U_0 \longrightarrow \mathbb{R}^n de manera que:

  1. \Psi es un difeomorfismo de clase r entre U_0 y su imagen (esto es, \Psi \in C^r(U_0) es inyectiva),
  2. \Psi(S \cap U_0) = \Psi(U_0) \cap (\mathbb{R} \times \{0\}^{n-k}).

A la aplicación \Psi(x)=0 la llamaremos representación difeomórfica local de la variedad S en el punto x_0.

Hay que observar que, a consecuencia de ser \Psi difeomorfismo local y U_0 abierto, \Psi(U_0) es también un abierto de \mathbb{R}^n.

Representación paramétrica de una variedad diferenciable

Sea E un espacio euclídeo de dimensión n \geq 0 y sea S \subset E. Diremos que S es una variedad diferenciable en E de dimensión k (donde 0 \leq k \leq n es un número entero) y clase C^r (donde r \geq 1 es un número entero) si para cada x_0 \in S existe un entorno abierto U_1 \subset E de x_0, un abierto no vacío V \subset \mathbb{R}^k, un elemento t_0 \in V y una aplicación \varphi: V \longrightarrow E de manera que:

  1. \varphi(t_0)=x_0,
  2. la jacobiana D\varphi(t_0) de \varphi en t_0 es inyectiva,
  3. \varphi es un homeomorfismo de clase r sobre V (esto es, \varphi \in C^r(V) es continua, abierta e inyectiva) entre V y S \cap U_1 (con la topología relativa).

A la aplicación \varphi la llamaremos representación paramétrica local de la variedad S en el punto x_0.

Referencias

    Bibliografía

    Volumen I,II,IV.

    Enlaces externos

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