Détermination du jour de la semaine

La détermination du jour de la semaine est un algorithme utilisé pour déterminer le jour de la semaine (lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, ou dimanche) connaissant la date, basé sur la notion mathématique de congruence. Il est aussi appelé congruence de Zeller, du mathématicien allemand Christian Zeller.

Calendrier civil

L'année tropique moyenne mesurée en l'an 2000 par Brétagnon, astronome à l'Observatoire de Paris, compte 365,2421905162 jours. Une année civile normale comprend 365 jours. Si aucune modification n'est réalisée, on commet tous les siècles une erreur de 24 jours, d'où des décalages dans les saisons.

• Les romains suivaient déjà cette division de l'année en 365 jours et instaurèrent tous les quatre ans une année de 366 jours. Au concile de Nicée en 325, les évêques la dénomment année bissextile. Cela est valable dans le calendrier julien.
• Cependant, tous les quatre ans, ce système commet une erreur de 4 × 0,007783 jour, soit donc tous les mille ans une erreur de 7,783 jours. Le pape Grégoire XIII instaure le système des années séculaires : parmi les années divisibles par 100, seules les années divisibles par 400 sont bissextiles. De fait, on récupère 3 jours tous les 400 ans.

  

Ce principe est à la base du calendrier grégorien. L'erreur commise est 1 jour tous les 4000 ans, ce qui, à l'échelle humaine, devient acceptable. Lors de la réforme de Grégoire, il n'y a pas eu de changement sur le nom du jour, seul le quantième a été modifié. Le 15 octobre 1582 succéda au 4 octobre 1582 (les 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 n'ont pas existé.)

Détermination du jour à l'aide de l'algorithme de Delambre

• Une année contient 52 semaines plus 1 ou 2 jours suivant qu'elle est ou n'est pas bissextile. Le nombre résiduel de jours modulo 7 s'écoulant en une année date pour date est donc 1 ou 2.
• Si abcd est la date d'une année comprise entre 400 et 9999, ab est la partie séculaire, cd la partie annuelle. La partie entière du quart de sa partie annuelle donne une approximation du nombre d'années bissextiles depuis le dernier millésime. On note k.
• L'idée est d'effectuer un calcul modulo 7, en déterminant dans un premier temps le jour du premier du mois correspondant. On doit tenir compte de la succession des mois (29, 30, ou 31 jours), et de la succession des années, avec la présence des années bissextiles.

Tableaux de valeurs

Valeurs du jour :

Valeurs du mois :

Calendrier julien

La formule exacte est la suivante :

la valeur du jour vaut

où Q est le quantième du mois, M la valeur du mois, et k la partie entière du quart de la partie annuelle.

Premier exemple pour le jour des vêpres siciliennes en date du 31 mars 1282 qui sont connues comme ayant eu lieu un mardi (valeur associée 2) :

k = 20 ; cd = 82 ; M = 0 ; Q = 31 ; 6ab=72 ; k + cd + M + Q + 6ab = 205 ; 205 ≡ 2 mod 7 (mardi).

Deuxième exemple pour le 29 novembre 1259 qui est un samedi (valeur associée 6) :

k = 14 ; cd = 59 ; M = 0 ; Q = 29 ; 6ab = 72 ; k + cd + M + Q + 6ab = 14 + 59 + 0 + 29 + 72 = 174 ; 174 ≡ 6 mod 7 (samedi).

Calendrier grégorien

Dans le calendrier grégorien (valable depuis le 15 octobre 1582, et dans certains pays seulement), la valeur du jour est donnée par :

où Q est le quantième du mois, M est la valeur du mois, k est la partie entière du quart de la partie annuelle et q la partie entière du quart de la partie séculaire. La constante 2 est un ajustement, mais peut être évitée par un décalage des jours.

Premier exemple pour le jour de Pâques 2013 qui ne peut être qu'un dimanche (valeur associée 0) :

k = E(13/4) = 3 ; q = E(20/4) = 5 ; cd = 13 ; M = 0 ; Q = 31 ; 5ab = 100 ; k + q + cd + M + Q + 2 + 5ab = 3 + 5 + 13 + 0 + 31 + 2 + 100 = 154 ; 154 ≡ 0 mod 7 (dimanche).

Deuxième exemple pour la date de naissance de son auteur 19 janvier 1939 qui est un jeudi (valeur associée 4) :

k = E(39/4) = 9 ; q = E(19/4) = 4 ; cd = 39 ; M = 4 ; Q = 19 ; 5ab = 95 ; k + q + cd + M + Q + 2 + 5ab = 9 + 4 + 39 + 4 + 19 + 2 + 95 = 172 ; 172 ≡ 4 mod 7 (jeudi).

Voir aussi

Article connexe

Christian Zeller, mathématicien allemand inventeur de l'algorithme

Calcul de la date de Pâques

Lien externe

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