Projection cartographique

Le globe terrestre vu en projection de Bonne.

La projection cartographique est un ensemble de techniques géodésiques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.

Le choix d'une projection et le passage d'une projection à une autre comptent parmi les difficultés mathématiques que les cartographes ont dû affronter. L'informatique a apporté des outils de calcul puissants pour traiter ces problèmes.

Description

D'un point de vue mathématique, une projection permet d'établir entre la surface de la Terre et le plan (ou la surface développable) une correspondance telle que :

et

désignent des coordonnées planes, la latitude, la longitude et des fonctions qui sont continues partout sur l'ensemble de départ sauf sur un petit nombre de lignes et de points (tels que les pôles). Il existe donc une infinité de solutions. Les mathématiciens ne se sont pas privés d'en trouver, et on en connaît plus de 200[1].

De la Terre à la carte

La Terre a une forme irrégulière. Une projection s'appuie sur une sphère ou un ellipsoïde de révolution qui sont des modèles plus ou moins proches de la forme patatoïde réelle. On commence par choisir, à partir de son géoïde global, un ellipsoïde de révolution représentatif. Il existe plusieurs ellipsoïdes en usage, dont les plus courants sont :

Les ellipsoïdes IAG-GRS80 et WGS84 sont pour la plupart des applications à considérer comme étant identiques. Plus rigoureusement, l'écart en termes de demi-petit axe entre les ellipsoïdes WGS84 et IAG-GRS80 est de 0,1 mm. IAG-GRS80 est l'ellipsoïde mis en place en 1980 par l'International Association of Geodesy comme Geodetic Reference System.

WGS84 signifie World Geodetic System, créé en 1984.

L'ellipsoïde seul ne suffit pas : il est nécessaire de le positionner par rapport à la surface réelle de la Terre. La donnée de l'ellipsoïde et des paramètres de positionnement constitue ce qu'on appelle un datum géodésique à partir duquel pourra être appliquée une projection.

Un datum géodésique est donc défini par :

ou, plus concrètement pour un datum local :

à quoi il convient d'ajouter la projection courante.

Il existe de nombreux datums, chacun adapté à un usage particulier, depuis des représentations globales du globe (ce sont les plus précises, comme DORIS qui permet de mesurer la dérive des continents ou le rebond post-glaciaire) jusqu'à des bases cadastrales (moins précises mais s'ajustant au plus près du géoïde). Voici quelques datums géodésiques en usage :

Les types de projections

Une fois un ellipsoïde fixé, on peut choisir le type de projection à appliquer pour obtenir une carte. Cette fois encore, ce choix est conduit par l'usage qui sera fait de la carte mais aussi de la position de la région à cartographier sur le globe. Les projections peuvent avoir diverses propriétés :

Une projection ne peut pas être à la fois conforme et équivalente.

Une carte ne pouvant pas être obtenue simplement en écrasant une sphère, la projection passe généralement par la représentation de la totalité ou une partie de l'ellipsoïde sur une surface développable, c'est-à-dire une surface qui peut être étalée sans déformation sur un plan.

Les trois formes mathématiques courantes qui répondent à ce critère (à savoir le plan, le cylindre et le cône) donnent lieu aux trois types principaux de projections :

Une projection qui ne peut être classée dans un de ces types est appelée individuelle ou unique.

L'utilisation de l'indicatrice de Tissot permet d'apprécier le degré de conservation ou de déformation des formes ou des surfaces.

Projection cylindrique

On projette l'ellipsoïde sur un cylindre qui l'englobe. Celui-ci peut être tangent au grand cercle, ou sécant en deux cercles. Puis on déroule le cylindre pour obtenir la carte.

Exemples de projection cylindrique :

Projection conique

On projette l'ellipsoïde sur une surface conique tangente à une ellipse ou sécant en deux ellipses. Puis on déroule le cône pour obtenir la carte.

Exemples de projection conique :

Projection azimutale

On projette l'ellipsoïde sur un plan tangent en un point ou sécant en un cercle.

Il existe quatre types principaux de projections azimutales, qui se différencient par la position du point de perspective utilisé pour la projection :

Par ailleurs, selon la position du plan tangent, la projection azimutale est dite polaire (plan tangent à un pôle), équatoriale (plan tangent en un point de l'équateur), ou oblique (plan tangent en un autre point). La projection azimutale polaire sert pour les cartes représentant les lignes aériennes qui passent par les régions polaires afin de réduire la distance de parcours.

Projection stéréographique

Le point de perspective est placé sur le sphéroïde ou l'ellipsoïde à l'opposé du plan de projection. Le plan de projection, qui sépare les deux hémisphères nord et sud de la sphère, est appelé plan équatorial.

Article détaillé : projection stéréographique.

Projection gnomonique

Différentes projections gnomoniques
Article détaillé : projection gnomonique.

Le point de perspective est au centre du sphéroïde. La projection gnomonique conserve les orthodromies, puisque tout arc de grand cercle est projeté en un segment.

Projection orthographique

Le point de perspective est à une distance infinie. On perçoit un hémisphère du globe comme si on était situé dans l'espace. Les surfaces et formes sont déformées, mais les distances sont préservées sur des lignes parallèles.

Article détaillé : projection orthographique.

Projection azimutale équivalente de Lambert

Projections uniques

Il existe de nombreuses cartes qui ne résultent pas d'une projection sur un cône, un cylindre ou un plan :

Références

Notes

  1. Joly, 1985, page 39
  2. [PDF] « Cylindrical Satellite-tracking projection »
  3. (en) Mei-Ling Hsu, Philip M. Voxland, « Showing Routes for Globe Circlers »

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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